【題目】在矩形中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，且.如圖，將沿折起至，使得平面平面.

（1）當(dāng)時，求證：；

（2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析: (1) 當(dāng)時，點(diǎn)是的中點(diǎn),由已知證出,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論;(2) 以為原點(diǎn)，的方向為軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量,根據(jù)線面角的公式求出結(jié)果.

試題解析:

（1）當(dāng)時，點(diǎn)是的中點(diǎn).

∴，.

∵，∴.

∵，，，

∴.

∴.

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

∵平面，∴.

（2）以為原點(diǎn)，的方向為軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則，，.

取的中點(diǎn)，

∵，∴，

∴ 易證得平面，

∵，∴，∴.

∴，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

則

令，則.

設(shè)與平面所成的角為，

則

，

解得或（舍去）

∴存在實數(shù)，使得與平面所成的角的正弦值為，此時.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，；

（1）寫出函數(shù)的最小正周期；

（2）請在下面給定的坐標(biāo)系上用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在區(qū)間的簡圖；

（3）指出該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知角α＝45°，

(1)在－720°～0°范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β；

(2)設(shè)集合，判斷兩集合的關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程及曲線上的動點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值；

（Ⅱ）若曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC， .點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個不等實根，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

0

π

2π

x

0

4

-4

0

（1）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；

（2）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動θ（）個單位長度，得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為，求θ的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中學(xué)生綜合素質(zhì)評價某個維度的測評中，分優(yōu)秀、合格、尚待改進(jìn)三個等級進(jìn)行學(xué)生互評.某校高一年級有男生500人，女生400人，為了了解性別對該維度測評結(jié)果的影響，采用分層抽樣方法從高一年級抽取了45名學(xué)生的測評結(jié)果，并作出頻數(shù)統(tǒng)計表如下：

表一：男生

男生

等級

優(yōu)秀

合格

尚待改進(jìn)

頻數(shù)

15

5

表二：女生

女生

等級

優(yōu)秀

合格

尚待改進(jìn)

頻數(shù)

15

3

（1）求,的值；

（2）從表二的非優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)抽取2人交談，求所選2人中恰有1人測評等級為合格的概率；

（3）由表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“測評結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

男生

女生

總計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

45

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.01

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，某部門從網(wǎng)年齡在15~65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下：

（I）由頻率分布直方圖估計年齡的眾數(shù)和平均數(shù)；

（II）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；

參考數(shù)據(jù)：

（III）若以45歲為分界點(diǎn)，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人.求抽到的2人中1人是45歲以下，另一人是45歲以上的概率.

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