Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a∈R）．

（1）若x=是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（3）當(dāng)a＞2且x＞1時(shí)，求證：函數(shù)f（x）的最小值小于﹣3．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0可得；

（2）求導(dǎo)后，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)的大小進(jìn)行討論；

（3）由（2）知f（x）的最小值為g（a）a+aln，（a＞2），再通過兩次求導(dǎo)可以證明．

（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

∴，

依題意有，即，解得：；

（2）∵，

∴當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，

故在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，

故在，上遞增，在上遞減.

（3）當(dāng)，且時(shí)，由（2）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，

所以時(shí)， ，

令，

則，

則在上恒成立，

所以在上是減函數(shù)，所以，

所以在上是減函數(shù)，所以，

即函數(shù)的最小值小于-3.