【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)對于任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(1)=﹣2,當(dāng)x>0時,f(x)<0.
(1)判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;
(2)解關(guān)于x的不等式f(x+#)+f(2x﹣x2)>2.

【答案】
(1)解:令x+y=0,可得f(0)=0,

令y=﹣x,則f(x)+f(﹣x)=f(0)=0,∴f(﹣x)=﹣f(x),

且f(x)的定義域?yàn)镽,是關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴f(x)為奇函數(shù)


(2)解:設(shè)x2>x1,令﹣y=x1,x=x2 則f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2)﹣f(x1),

因?yàn)閤>0時,f(x)<0,又x2﹣x1>0,

故f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2)﹣f(x1)<0,

∴f(x2)<f(x1)∴f(x)在R上單調(diào)遞減,

因?yàn)閒(﹣1)=2∴原不等式可轉(zhuǎn)化為f(x+3)+f(2x﹣x2)<﹣f(1)∴f(x+3)<﹣f(2x﹣x2)﹣f(1),

∴f(x+3)<﹣f(2x﹣x2+1)=f(﹣2x+x2﹣1),

又因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞減∴x+3>﹣2x+x2﹣1,

∴x>4或x<﹣1,

不等式的解集為(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)


【解析】(1)令x+y=0,可得f(0)=0,令y=﹣x,則f(x)+f(﹣x)=f(0)=0,∴f(﹣x)=﹣f(x);(2)由題設(shè)條件對任意x1、x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x2)﹣f(x1)與0的大小即可判定單調(diào)性,將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為∴f(x+3)<f(﹣2x+x2﹣1)再利用函數(shù)的單調(diào)性即可解得不等式的解集.

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