已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC ="∠BAD" =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點,且EF∥BC。設AE =,G是BC的中點.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖).
(1)當=2時,求證:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為,求的最大值;
(3)當取得最大值時,求二面角D-BF-E的余弦值.
(1)建立空間坐標系E-xyz, B(2,0,0)D(0,2,2)E(0,0,0)G(2,2,0),
(-2,2,2)(2,2,0)=0∴(2)(3)
解析試題分析:(1)方法一:
∵平面平面,
AE⊥EF,∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,
又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標系E-xyz.
,又為BC的中點,BC=4,
.則A(0,0,2),B(2,0,0),
G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0),
(-2,2,2),(2,2,0),
(-2,2,2)(2,2,0)=0,
∴.……4分
方法二:
作DH⊥EF于H,連BH,GH, 由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH.
為平行四邊形,且,四邊形BGHE為正方形,∴EG⊥BH,BHDH=H,
故EG⊥平面DBH, 而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.………4分
(或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果)
(2)∵AD∥面BFC,所以 =VA-BFC=
,即時有最大值為. ………8分
(3)設平面DBF的法向量為,∵AE=2, B(2,0,0),
D(0,2,2),F(xiàn)(0,3,0),∴………9分
(-2,2,2),
則 ,即,
取,∴
,面BCF一個法向量為,
則cos<>=,………14分
考點:兩線垂直的判定及求解二面角大小
點評:本題用向量方法求解比較簡單
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖:四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ACB=90°,平面PAD⊥平面ABCD,PA=BC=1,PD=AB=,E、F分別為線段PD和BC的中點.
(Ⅰ) 求證:CE∥平面PAF;
(Ⅱ) 在線段BC上是否存在一點G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°?若存在,試確定G的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖,已知四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為菱形,PA平面ABCD,,BC=1,E為CD的中點,PC與平面ABCD成角。
(1)求證:平面EPB平面PBA;(2)求二面角P-BD-A 的余弦值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在□ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD="4." 將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求證:AB⊥DE;
(2)求三棱錐E—ABD的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(14分)如右圖,簡單組合體ABCDPE,其底面ABCD為邊長為的正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC=.
(1)若N為線段PB的中點,求證:EN//平面ABCD;
(2)求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分)如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)棱底面,,是的中點,作交于點
(1)證明:平面.
(2)證明:平面.
(3)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面,在棱上.
(I)當時,求證平面
(II)當二面角的大小為時,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱ABC?A1B1C1中, AC= BC=AA1,D是棱AA1的中點,DC1⊥BD.
(Ⅰ)證明:DC1⊥BC;
(Ⅱ)求二面角A1?BD?C1的大。
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