Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F在直線(xiàn)上。

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程。

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)做互相垂直的兩條直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，與曲線(xiàn)C交于E,F兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB、EF的中點(diǎn)分別為M、N，求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)P，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為.

【解析】

（Ⅰ）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)上，求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，即可求解拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求解點(diǎn)的坐標(biāo)，分類(lèi)討論，即可求解.

（Ⅰ）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)上，

為， 即，

拋物線(xiàn)的方程為．

（Ⅱ）易知直線(xiàn)，的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，，，

則直線(xiàn)：，，

由得，

，

∴，，

∴．同理得．

當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)的方程為；

當(dāng)且時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，

∴直線(xiàn)的方程為，即，

∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為．