Question

1．（1）已知角θ的終邊在直線y=-2x上，求5sinθ-$\frac{2}{cosθ}$的值；
（2）化簡$\frac{sin（α+nπ）+sin（α-nπ）}{sin（α+nπ）•cos（α-nπ）}$（n∈Z）

Answer 1

分析 （1）由已知分θ的終邊所在象限在終邊上任取一點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義求出θ的正弦和余弦值得答案；
（2）直接分n為偶數(shù)和奇數(shù)化簡求值．

解答 解：（1）∵角θ的終邊在直線y=-2x上，∴tanθ=-2，
在直線y=-2x上取一點(diǎn)A（-1，2），則OA=$\sqrt{5}$，
∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos$θ=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，則5sinθ-$\frac{2}{cosθ}$=$5×\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{2}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$4\sqrt{5}$．
在直線y=-2x上取一點(diǎn)B（1，-2），則OA=$\sqrt{5}$，
∴sinθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則5sinθ-$\frac{2}{cosθ}$=$5×（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）-\frac{2}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=-4\sqrt{5}$；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，$\frac{sin（α+nπ）+sin（α-nπ）}{sin（α+nπ）•cos（α-nπ）}$=$\frac{sinα+sinα}{sinαcosα}=\frac{2}{cosα}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時，$\frac{sin（α+nπ）+sin（α-nπ）}{sin（α+nπ）•cos（α-nπ）}$=$\frac{-sinα-sinα}{-sinα•（-cosα）}=-\frac{2}{cosα}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡與求值，考查了三角函數(shù)的定義，訓(xùn)練了利用誘導(dǎo)公式化簡求值，是基礎(chǔ)題．