Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{6}$，橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx-2與橢圓C交于A，B兩點，點P（0，1），且|PA|=|PB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx-2代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由中點坐標公式和兩直線垂直的條件，可得k的方程，解方程可得直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的定義可得2a=6，2c=2$\sqrt{6}$，
解得a=3，c=$\sqrt{6}$，
所以b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．                 
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=9}\end{array}\right.$   
得（1+3k²）x²-12kx+3=0，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點，
所以△=144k²-12（1+3k²）＞0解得${k^2}＞\frac{1}{9}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則${x_1}+{x_2}=\frac{12k}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{3}{{1+3{k^2}}}$，
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-4=k•\frac{12k}{{1+3{k^2}-4}}=-\frac{4}{{1+3{k^2}}}$，
所以，A，B中點坐標E（$\frac{6k}{{1+3{k^2}}}$，$-\frac{2}{{1+3{k^2}}}$），
因為|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k_PE•k_AB=-1，
所以$\frac{-2-（1+3{k}^{2}）}{6k}$•k=-1
解得k=±1，
經(jīng)檢驗，符合題意，
所以直線l的方程為x-y-2=0或x+y+2=0．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的定義和焦距的概念，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，由兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．