Question

【題目】以為直徑的圓上每一點(diǎn)都染上了紅、黃、藍(lán)三色之一，已知、染上了紅色，聯(lián)結(jié)圓上的點(diǎn)組成三角形，給出4個(gè)結(jié)論：

①必定存在一個(gè)直角三角形，三個(gè)頂點(diǎn)同為紅色；

②必定存在一個(gè)直角三角形，三個(gè)頂點(diǎn)同色；

③必定存在一個(gè)直角三角形，三個(gè)頂點(diǎn)全不同色；

④必定存在一個(gè)直角三角形，或都三個(gè)頂點(diǎn)同色，或者三個(gè)頂點(diǎn)全不同色。

則真命題的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)。

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】A

【解析】

易知，聯(lián)結(jié)圓上的點(diǎn)組成直角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)斜邊為直徑，下面討論直徑.若除點(diǎn)、外，圓上再無(wú)紅點(diǎn)，則結(jié)論①不成立；若除點(diǎn)、外，圓上再無(wú)紅點(diǎn)，且其他所有直徑的兩端點(diǎn)都黃、藍(lán)異色，則結(jié)論②不成立；若圓上所有直徑的兩端點(diǎn)都同色，則結(jié)論③不成立.下面證明：結(jié)論④成立.若除點(diǎn)、外，圓上還有紅點(diǎn)，則存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形（同紅色），命題成立，若除點(diǎn)、外，圓上再無(wú)紅點(diǎn)（即圓上其余點(diǎn)染上了黃、藍(lán)兩色之一），則作直徑，當(dāng)兩端異色時(shí)，存在三個(gè)頂點(diǎn)全不同色的直角三角形，命題成立；當(dāng)兩端同色時(shí)，不妨記為同黃色，若此時(shí)圓上還有第三個(gè)黃點(diǎn)，則存在三個(gè)頂點(diǎn)同黃色的直角三角形，命題成立.若此時(shí)圓上沒(méi)有第三個(gè)黃點(diǎn)，即除點(diǎn)、、、外圓上全為藍(lán)點(diǎn)，則存在三個(gè)頂點(diǎn)同藍(lán)色的直角三角形，命題成立。綜上得結(jié)論④成立。