Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)二面角D﹣AE﹣C為60°，AP=1，AD= ，求三棱錐E﹣ACD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，

∵O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，

∴EO∥PB，（2分）

EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）

（2）解：延長(zhǎng)AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，

∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，

∴CD⊥平面AMD，

∵二面角D﹣AE﹣C為60°，

∴∠CMD=60°，

∵AP=1，AD= ，∠ADP=30°，

∴PD=2，

E為PD的中點(diǎn)．AE=1，

∴DM= ，

CD= = ．

三棱錐E﹣ACD的體積為： = = ．

【解析】（1）連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；（2）延長(zhǎng)AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，說(shuō)明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E﹣ACD的體積．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．