【題目】如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A、B 及CD的中點P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP ，設(shè)排污管道的總長度為km．

（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：①設(shè)∠BAO= (rad)，將表示成的函數(shù)；②設(shè)OP (km) ，將表示成的函數(shù)．

（2）請選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道總長度最短．

【答案】（1）① ②（2）當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為 (km)時，鋪設(shè)的排污管道總長度最短．

【解析】試題分析：（1）第（1）問第①問，先根據(jù)已知把表示成的函數(shù)，再利用三角恒等變換的知識化簡函數(shù). 第②問，直接利用兩點間的距離公式把表示成的函數(shù).(2)第（2）問，先對函數(shù)求導，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)的最小值.

試題解析：

（1）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，

則, 故，又OP＝，

所以，

所求函數(shù)關(guān)系式為

②若OP= (km) ，則OQ＝10－，

所以OA =OB=

所求函數(shù)關(guān)系式為

（2）選擇函數(shù)模型①，

令0 得sin ，因為，所以=，

當時， ， 是的減函數(shù)；當時， ， 是的增函

數(shù)，所以函數(shù)在=時取得極小值，這個極小值就是最小值． ．這時 (km)

因此，當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為 (km)時，鋪設(shè)的排污管道總長度最短．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)根，記，求實數(shù)的取值范圍 .

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【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E，F分別為PC，BD的中點．

求證：(1)EF∥平面PAD；

(2)PA⊥平面PDC.

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【題目】已知雙曲線 =1（a＞0，b＞0）上一點C，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A，B兩點，記直線AC，BC的斜率分別為k1 ， k2 ， 當 +ln|k1|+ln|k2|最小時，雙曲線離心率為（ ）
A.
B.
C. +1
D.2

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【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1= ，an+1= （n∈N*）．
（1）求a2 ， a3的值；
（2）證明：不等式0＜an＜an+1對于任意n∈N*都成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，⊙O1與⊙O2外切于點P，從⊙O1上點A作的切線AB，切點為B，連AP（不過O1）并延長與⊙O2交于點C．

（1）求證：AO1∥CO2；
（2）若 ，求⊙O1的半徑與⊙O2的半徑之比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)二面角D﹣AE﹣C為60°，AP=1，AD= ，求三棱錐E﹣ACD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別是PA，BC的中點，且AD=2PD=2．

（1）求證：MN∥平面PCD；

（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；

（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sin2x-2sin2x-a．

①若f（x）=0在x∈R上有解，則a的取值范圍是______；

②若x1，x2是函數(shù)y=f（x）在[0，]內(nèi)的兩個零點，則sin（x1+x2）=______

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