【題目】如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A、B 及CD的中點(diǎn)P 處,已知AB=20km,CB =10km ,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界),且與A、B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP ,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)度為km.
(1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式:①設(shè)∠BAO= (rad),將表示成的函數(shù);②設(shè)OP (km) ,將表示成的函數(shù).
(2)請(qǐng)選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短.
【答案】(1)① ②(2)當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為 (km)時(shí),鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短.
【解析】試題分析:(1)第(1)問(wèn)第①問(wèn),先根據(jù)已知把表示成的函數(shù),再利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)函數(shù). 第②問(wèn),直接利用兩點(diǎn)間的距離公式把表示成的函數(shù).(2)第(2)問(wèn),先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最后根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)的最小值.
試題解析:
(1)①由條件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO= (rad) ,
則, 故,又OP=,
所以,
所求函數(shù)關(guān)系式為
②若OP= (km) ,則OQ=10-,
所以OA =OB=
所求函數(shù)關(guān)系式為
(2)選擇函數(shù)模型①,
令0 得sin ,因?yàn)?/span>,所以=,
當(dāng)時(shí), , 是的減函數(shù);當(dāng)時(shí), , 是的增函
數(shù),所以函數(shù)在=時(shí)取得極小值,這個(gè)極小值就是最小值. .這時(shí) (km)
因此,當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為 (km)時(shí),鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,記,求實(shí)數(shù)的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).
求證:(1)EF∥平面PAD;
(2)PA⊥平面PDC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0)上一點(diǎn)C,過(guò)雙曲線中心的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),記直線AC,BC的斜率分別為k1 , k2 , 當(dāng) +ln|k1|+ln|k2|最小時(shí),雙曲線離心率為( )
A.
B.
C. +1
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足:a1= ,an+1= (n∈N*).
(1)求a2 , a3的值;
(2)證明:不等式0<an<an+1對(duì)于任意n∈N*都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P,從⊙O1上點(diǎn)A作的切線AB,切點(diǎn)為B,連AP(不過(guò)O1)并延長(zhǎng)與⊙O2交于點(diǎn)C.
(1)求證:AO1∥CO2;
(2)若 ,求⊙O1的半徑與⊙O2的半徑之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設(shè)二面角D﹣AE﹣C為60°,AP=1,AD= ,求三棱錐E﹣ACD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M,N分別是PA,BC的中點(diǎn),且AD=2PD=2.
(1)求證:MN∥平面PCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求四棱錐P-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin2x-2sin2x-a.
①若f(x)=0在x∈R上有解,則a的取值范圍是______;
②若x1,x2是函數(shù)y=f(x)在[0,]內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn),則sin(x1+x2)=______
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