Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，圓的圓心與橢圓C的上頂點(diǎn)重合，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為2的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，探究：在橢圓C上是否存在一點(diǎn)Q，使得，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（2）求出圓心的坐標(biāo)，得到.結(jié)合橢圓的離心率及列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）首先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)出的坐標(biāo)以及直線的方程，得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得判別式.將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，同樣求其判別式.兩次求得的判別式?jīng)]有交集，故不存在這樣的點(diǎn).

（1）由橢圓的離心率，則，b2=a2﹣c2=c2，

由x2+y2﹣2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程x2+（y﹣1）2=1，則b=1，c=1，a=，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；

（2）假設(shè)存在Q，使得滿(mǎn)足，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．直線l：y=2x+m，

則Q（x0，y0），P（p，），則=（x1﹣p，y1﹣），=（x0﹣x2，y0﹣y2），

由，則，

，則，整理得：9x2+8mx+2m2﹣2=0，

則△=（8m）2﹣4×9×（2m2﹣2）=8（9﹣m2）＞0，解得：﹣3＜m＜3，①

則x1+x2=﹣m，y1+y2=2（x1+x2）+2m=m， 則x0=﹣m﹣p，y0=m﹣，

由Q（x0，y0）在橢圓上，則x02+2y02=2，

∴（﹣m﹣p）2+2（m﹣）2=2，整理得：9p2+16mp+8m2﹣m+32=0有解，

則△2=（16m）2﹣4×9（8m2﹣m+32）=648﹣32（m﹣）2≥0，

解得：3≤m≤12，② ①②無(wú)交集，因此不存在Q，使得．