Question

如圖，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2
（1）求證：AC∥平面BEF；
（2）求點D到平面BEF的距離；
（3）求平面BEF與平面ABCD所成的正切值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，取BE中點G，連接FG，OG，由已知條件推導(dǎo)出四邊形AFGO是平行四邊形，由此能夠證明AC∥平面BEF．
（2）以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點D到平面BEF的距離．
（3）分別求出平面ABCD的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能結(jié)合三角函數(shù)知識能求出平面BEF與平面ABCD所成角的正切值．

解答： （1）證明：設(shè)AC∩BD=O，取BE中點G，連接FG，OG，
∴OG∥DE，且OG=

1

2

DE．
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF∥OG，且OG=AF，
∴四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G∥OA．
∴FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
（2）解：∵正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，
∠ADE=90°，
∴以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標系，
∵DE=DA=2AF=2，
∴B（2，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，1），D（0，0，0），
∴

BE

=(-2，-2，2)，

BF

=(0，-2，1)，

BD

=(-2，-2，0)，
設(shè)平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

BE

=0，

n

•

BF

=0，
∴

-2x-2y+2z=0 -2y+z=0

，∴

n

=（1，1，2），
∴點D到平面BEF的距離d=

| BD • n |

| n |

=

|-2-2+0|

6

=

2 6

3

．
（3）解：設(shè)平面BEF與平面ABCD所成的角為θ
∵平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
平面BEF的法向量

n

=（1，1，2），
∴cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

6

|=

6

3

，
∴sinθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

2

．
∴平面BEF與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，考查平面與平面所成角的正切值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．