Question

6．設(shè)f（x）是任意一個(gè)函數(shù)，其定義域在x軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱
（1）判斷下列函數(shù)的奇偶性：F（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]，G（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]；
（2）求證：f（x）一定可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件知F（x）和G（x）的定義域都關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且可得到F（-x）=F（x），G（-x）=-G（x），從而便可得出F（x）為偶函數(shù)，G（x）為奇函數(shù)；
（2）由（1）顯然有f（x）=F（x）+G（x），而F（x）為偶函數(shù)，G（x）為奇函數(shù)，從而便可得出f（x）一定可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和．

解答 解：（1）f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；
∴F（x），G（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；
又F（-x）=$\frac{1}{2}[f（-x）+f（x）]=F（x）$，$G（-x）=\frac{1}{2}[f（-x）-f（x）]=-G（x）$；
∴F（x）為偶函數(shù)，G（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：由（1）知F（x）為偶函數(shù)，G（x）為奇函數(shù)；
且f（x）=F（x）+G（x）；
∴f（x）一定可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和．

點(diǎn)評 考查函數(shù)定義域的概念及其求法，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，及奇函數(shù)、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)．