Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中.

(1)若，證明：當(dāng)時，；

(2)設(shè)，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

①證明恰有兩個零點；

②設(shè)如為的極值點，為的零點，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）①證明見解析；②證明見解析；

【解析】

（1）將條件轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)證明，當(dāng)時，即可；

（2）先求得，先判斷的增減性，設(shè)導(dǎo)數(shù)為零的點為，可證在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，再結(jié)合（1）的性質(zhì)可得，即，將代換可得，再結(jié)合（1）的性質(zhì)放縮，即可求證

令

當(dāng)時，，所以在上遞減，

又在上連續(xù)，

所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，

(2)證明：①，得

令，由，

可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且

.

故在有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，

不妨設(shè)為，則

當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，

因此是的唯一極值點.

由(1)知.從而

又因為，所以在內(nèi)有唯一零點.

又在內(nèi)有唯一零點，從而在內(nèi)恰有兩個零點.

②由題意，，即，

從而，即.

因為當(dāng)時，，又，故

兩邊取對數(shù)，得，于是

整理得.