已知函數(shù)f（x）=x-
a
x
（a∈R），求證：在[
|a|
，+∞）上方程f（x）=2013至多有一個根．
考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：討論a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結論．
解答： 證明：若a≥0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時在[
|a|
，+∞）上方程f（x）=2013有一個根，
若a＜0，則f（x）=x-
a
x
=x+
-a
x
（a∈R），則（0，
-a
）上單調(diào)遞減，在[
-a
，+∞）上單調(diào)遞增，
即在x=
-a
），函數(shù)取得最小值f（
-a
）=2
-a
，此時函數(shù)f（x）在[
|a|
，+∞）上單調(diào)遞增，
若2
-a
＜2013時，此時方程f（x）=2013無解，
若2
-a
≥2013，方程f（x）=2013有1解，
綜上：在[
|a|
，+∞）上方程f（x）=2013至多有一個根．
點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性是解決本題的關鍵，注意要對a進行分類討論．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若等差數(shù)列{an}滿足：
a11
a12
＜-1，且其前n項和Sn有最大值．則當數(shù)列{Sn}的前n項和取最大值時，n的值為（　�。�
A、12B、11C、23D、22

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解方程：x
3
4
=2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象無公共點，試求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在兩個實數(shù)x1，x2且x1≠x2，滿足f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），求證x1x2＞e2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象通過原點，對稱軸為x=-2n，（n∈N*）．f′（x）是f（x）的導函數(shù)，且f′（0）=2n，（n∈N*）．
（1）求f（x）的表達式（含有字母n）；
（2）若數(shù)列{an}滿足an+1=f′（an），且a1=4，求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）在（2）條件下，若bn=n•2 
an+1-an
2
，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在自然數(shù)M，使得當n＞M時n•2n+1-Sn＞50恒成立？若存在，求出最小的M；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線的頂點是橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的中心O，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的右準線交x軸于點Q，過點Q的直線l交拋物線于D、E兩點．求△ODE面積的最小值；
（Ⅲ）設A、B分別為橢圓C的左、右頂點，P為右準線上不同于點Q的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N．求證：點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若x，y均為正實數(shù)，且x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E為PC的中點．
（1）求證：EB∥平面PAD；
（2）求直線BD與平面PCD所成的角；
（3）求二面角A-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定點M（0，-1），點N是⊙F：x2+（y-1）2=8（F為圓心）上的動點，線段MN的垂直平分線交NF于點G，記點G的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+1與曲線E相交于A、B兩個不同點，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l方程．

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