Question

已知拋物線的頂點是橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的中心O，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的右準(zhǔn)線交x軸于點Q，過點Q的直線l交拋物線于D、E兩點．求△ODE面積的最小值；
（Ⅲ）設(shè)A、B分別為橢圓C的左、右頂點，P為右準(zhǔn)線上不同于點Q的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N．求證：點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為y²=2px，（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得拋物線的焦點為（1，0），由此能示出拋物線的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=ay+4，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．聯(lián)立

x=ay+4 y2=4x

，整理得：y²-4ay-16=0，由此利用橢圓弦長公式能求出△ODE面積的最小值．
（Ⅲ） A（-2，0），B（2，0）．設(shè)M（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）．由已知條件得

BM

•

BP

=

2

x0+2

（x₀²-4+3y₀²）．由此能證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

解答： （Ⅰ）解：由題意，可設(shè)拋物線方程為y²=2px，（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴拋物線的焦點為（1，0），解得p=2．
∴拋物線的方程為y²=4x．
（Ⅱ）解：∵橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=4，∴Q（4，0），
設(shè)直線l的方程為x=ay+4，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x=ay+4 y2=4x

，整理得：y²-4ay-16=0，∴y₁+y₂=4a，y₁y₂=-16，
∴S_△ODE=

1

2

|OQ|•|y₁-y₂|=2

(y1+y2)2-4y1y2

=8

a2+4

，
∴當(dāng)a=0時，（S_△ODE）_min=16．
（Ⅲ）證明：∵A（-2，0），B（2，0）．設(shè)M（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）．
∵M(jìn)點在橢圓上，∴y₀=

3

4

（4-x₀²）．①
又直線AP的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，則 P（4，

6y0

x0+2

）．
從而

BM

=（x₀-2，y₀），

BP

=（2，

6y0

x0+2

）．
∴

BM

•

BP

=2x₀-4+

6y02

x0+2

=

2

x0+2

（x₀²-4+3y₀²）．②
將①代入②，化簡得

BM

•

BP

=

5

2

（2-x₀）．
∵2-x₀＞0，∴

BM

•

BP

＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，考查點在圓內(nèi)的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．