Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）記，試判斷函數(shù)的極值點的情況；

（Ⅱ）若有且僅有兩個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)后可知的符號由的符號決定；根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合存在性定理可知存在唯一的，使得，從而得到得單調(diào)性，根據(jù)極值與單調(diào)性的關(guān)系可確定極值點；（Ⅱ）將所求不等式化為；當(dāng)和時，根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論可驗證出都有無窮多個整數(shù)解，不合題意；當(dāng)時，若，由時，可知無整數(shù)解，不合題意；若，可知，解不等式組求得結(jié)果.

（Ⅰ）由得：

設(shè)，則在上單調(diào)遞增

又，

存在唯一的，使得，即

當(dāng)時，；當(dāng)時，

在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

為的極小值點，無極大值點

（Ⅱ）由得：，即

①當(dāng)時，恒成立，有無窮多個整數(shù)解，不合題意

②當(dāng)時，，

， 當(dāng)時，由（Ⅰ）知：

有無窮多個整數(shù)解，即有無窮多個整數(shù)解，不合題意

③當(dāng)時，

i.當(dāng)時，，又

兩個整數(shù)解為：

，解得：

ii.當(dāng)時，

當(dāng)時，由（Ⅰ）知： 無整數(shù)解，不合題意

綜上所述：