已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的頂點(diǎn)為A（0，5），離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線y=-4交橢圓E于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)D在橢圓上，且滿足
BD
=m
BA
+n
BC
（m，n為實(shí)數(shù)），求m+n的最大值以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）根據(jù)頂點(diǎn)為A（0，5），離心率為
3
2
，求出幾何量，盡快求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），根據(jù)
BD
=m
BA
+n
BC
（m，n為實(shí)數(shù)），可得x=6m+12n-6，y=9m+8n-4，進(jìn)而可得m+n，利用三角換元，可求m+n的最大值以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解答： 解：（I）由題意得：在橢圓E中，b=5，且e=
c
a
=
1-
b2
a2
=
3
2
，a2=b2+c2，
∴a2=100，
∴橢圓E的方程為：
x2
100
+
y2
25
=1…（4分）
（II）將y=-4代入橢圓方程
x2
100
+
y2
25
=1中得x2=36，∴x=±6，
∵B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)，∴B（-6，-4），C（6，-4）．
∵A（0，5），∴
BA
=(6，9)，
BC
=（12，0），
設(shè)D點(diǎn)（x，y），則
BD
=(x+6，y+4)
∵
BD
=m
BA
+n
BC
，即x+6=6m+12n，y+4=9m，
整理可得m=
y+4
9
，n=
3x-2y+10
36
…（7分）
∴m+n=
3x+2y+26
36
；
令t=3x+2y，與橢圓方程，消去y整理方程得：滿足△≥0，則t≤10
10
；…（10分）
∴m+n的最大值為
10
10
+26
36
=
5
10
+13
18
，即3x+2y=10
10
時(shí)滿足…（11分）
而
10
10
=3x+2y
x2
100
+
y2
25
=1
⇒
x=3
10
y=
10
2
，
∴D(3
10
，
10
2
)…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1﹙a＞0，b＞0﹚，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點(diǎn)，若橢圓的離心率為
1
2
，橢圓的焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為3，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓上是否存在一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到其左準(zhǔn)線的距離MN是MF1，MF2的等比中項(xiàng)？若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

學(xué)校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，并規(guī)定：在抽取的3道題中，至少正確完成其中2道題便可通過考查．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都為
2
3
，且每題正確完成與否互不影響．
（1）求考生甲正確完成題目個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析比較甲、乙兩考生哪位實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)及哪位通過考查的可能性大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），定點(diǎn)M（0，5），直線l：y=
p
2
與y軸交于點(diǎn)F，O為原點(diǎn)，若以O(shè)M為直徑的圓恰好過l與拋物線C的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，連AF，BF延長交拋物線分別于A′，B′，求證：拋物線C分別過A′，B′兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A，B，C是拋物線L：y2=2px（p＞0）上的不同的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA∥BC，且拋物線L的準(zhǔn)線方程為x=-1．
（1）求拋物線L的方程；
（2）若△ABC的重心在直線x=-1上，求△ABC的面積取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點(diǎn)P（1，-2）作直線與曲線
x=2
2
cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|•|PB|=
2
3
，求該直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若變量x，y滿足約束條件
x+3y-3≥0
2x-y-3≤0
x-y+1≥0.
，則z=x+y的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列命題
①命題“對(duì)任意的x＜0，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x≥0，x3-x2+1＞0”；
②函數(shù)f（x）=2x-x2的零點(diǎn)有2個(gè)；③若函數(shù)f（x）=x2-|x+a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=0；
④若函數(shù)f（x）=
ax-5，(x＞6)
(4-
a
2
)x+4，(x≤6)
在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，8）．       
其中真命題的序號(hào)是
 
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知存在正數(shù)a，b，c滿足
1
e
≤
c
a
≤2，clnb=a+clnc，則ln
b
a
的取值范圍是（　　）
A、[1，
1
2
+ln2]
B、[1，+∞）
C、（-∞，e-1]
D、[1，e-1]

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同步練習(xí)冊(cè)答案