已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1﹙a＞0，b＞0﹚，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點，若橢圓的離心率為
1
2
，橢圓的焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為3，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓上是否存在一點M，使點M到其左準(zhǔn)線的距離MN是MF1，MF2的等比中項？若存在，求出該點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出
c
a
=
1
2
a2
c
-c=3
，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）解決此類存在性問題是先假設(shè)存在適合題意的點，然后進(jìn)行推理，看能不能推出矛盾．題中涉及到與焦點F1、F2的距離，可考慮應(yīng)用橢圓的兩個定義．
解答： 解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1﹙a＞0，b＞0﹚，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點，
橢圓的離心率為
1
2
，橢圓的焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為3，
∴
c
a
=
1
2
a2
c
-c=3
，解得a=2，c=1，∴b=
3
，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）設(shè)|MN|=t（t＞0），由橢圓的第二定義知|MF1|MN=e|MN|=et，
又由橢圓第一定義知|MF1|+|MF2|=2a，
∴|MF2|=2a-et，
若點M存在，則|MN|2=|MF1|•|MF2|，
∴t2=et•（2a-et），
∵t≠0，∴t=
2ae
1+e2
=
2×2×
1
2
1+
1
4
=
8
5
，
∵橢圓C上有點到左準(zhǔn)線的最短距離是橢圓左頂點到左準(zhǔn)線的距離，
即
a2
c
-a=4-2=2，
而|MN|=t=
8
5
＜2，
∴點M不存在．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點的存在性問題的確定，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓的兩個定義的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中正確的是（　�。�
A、“a=1”是直線“l(fā)1：ax+2y-1=0與直線l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充要條件
B、命題“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”
C、命題“若m＞0，則方程x2+x-m=0有實數(shù)根”的逆否命題為：“若方程x2+x-m=0無實數(shù)根，則m≤0”
D、若p∧q為假命題，則p，q均為假命題

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“a≥0，b≥0”是“
a+b
2
≥
ab
”的（　�。�
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充也不必要條件

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E（-1，0）和F（1，0），圓E是以E為圓心，半徑為2
2
的圓，點P是圓E上任意一點，線段FP的垂直平分線l和半徑EP所在的直線交于點Q．
（Ⅰ）當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時，求點Q的軌跡方程T；
（Ⅱ）已知M，N是曲線T上的兩點，若曲線T上存在點P，滿足
OM
+
ON
=λ
OP
（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點為F1（-1，0）、F2（1，0），點P（-1，
2
2
）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線E：y2=2px（p＞0）與橢圓C相交于點M、N，當(dāng)△OMN（O是坐標(biāo)原點）的面積取得最大值時，求P的值．
（3）在（2）的條件下，過點F2作任意直線l與拋物線E相交于點A、B兩點，則直線AF1與直線BF1的斜率之和是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它們在x=0處有相同的切線．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）判斷函數(shù)F（x）=2f（x）-g（x）+2零點個數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上兩個不同的點，且OA⊥OB，證明直線AB恒過定點，并求定點的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，以
3
2
為離心率的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A和B，點P是橢圓位于x軸上方的一點，且△PAB的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓位于x軸下方的一點，直線AP、BQ的斜率分別為k1，k2，若k1=7k2，設(shè)△BPQ與△APQ的面積分別為S1，S2，求S1-S2的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的頂點為A（0，5），離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線y=-4交橢圓E于點B，C兩點（點B在點C的左側(cè)），點D在橢圓上，且滿足
BD
=m
BA
+n
BC
（m，n為實數(shù)），求m+n的最大值以及對應(yīng)點D的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案