(1)用綜合法證明:a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(a,b,c∈R);
(2)用反證法證明:若a,b,c均為實(shí)數(shù),且a=x2-2y+
π
2
,b=y2-2z+
π
3
,c=z2-2x+
π
6
,求證a,b,c中至少有一個(gè)大于0.
考點(diǎn):反證法與放縮法,綜合法與分析法(選修)
專題:綜合題,反證法
分析:(1)由于已知 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,相加后兩邊同時(shí)除以2,即得所證.
(2)用反證法,假設(shè)a,b,c都小于或等于0,推出a+b+c的值大于0,出現(xiàn)矛盾,從而得到假設(shè)不正確,命題得證.
解答: 證明:(1)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,
相加可得 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),取等號(hào));
(2)設(shè)a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
∴a+b+c≤0,
而a+b+c=(x2-2y+
π
2
)+(y2-2z+
π
3
)+(z2-2x+
π
6

=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
∴a+b+c>0,
這與a+b+c≤0矛盾,
故假設(shè)是錯(cuò)誤的,
故a、b、c中至少有一個(gè)大于0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查用綜合法和反證法證明不等式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.用反證法證明數(shù)學(xué)命題,推出矛盾,是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在梯形ABCD中,AD⊥CD,AD∥CD,AD=CD=
1
2
AB=a,平面ACFE⊥平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AE=a.
(1)求證:AF⊥BC;
(2)求二面角B-AF-C的余弦值.

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如圖,在四棱柱P-ABCD中,底面ABCD是矩形,E是棱PA的中點(diǎn),PD⊥BC.求證:
(Ⅰ) PC∥平面BED;
(Ⅱ)△PBC是直角三角形.

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已知tan(π+x﹚=-3,x∈[
π
2
,π],求:
(1)cos(π-x﹚;
(2)sin2x-sinxcosx.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在⊙O的直徑AB的延長線上任取一點(diǎn)C,過點(diǎn)C引直線與⊙O交于點(diǎn)D、E,在⊙O上再取一點(diǎn)F,使
AE
=
AF

(Ⅰ)求證:E、D、G、O四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)如果CB=OB,試求
CB
CG
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)F1(0,-
3
)
,F(xiàn)2(0,
3
)
的距離之和等于4,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+1與曲線C交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

現(xiàn)有芳香度為0,1,2,3,4,5的六種添加劑,要隨機(jī)選取兩種不同添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn);求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和小于3的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作互相垂直的兩直線AB、CD與拋物線分別相交于A、B以及C、D,若
1
|AF|
+
1
|BF|
=1.
(1)求此拋物線的方程.
(2)試求四邊形ACBD的面積的最小值.
(3)設(shè)N(n,0)(n<0),過點(diǎn)N的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn),且
NP
=
1
3
NQ
,試將|PQ|表示為n的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,若球的表面積為9π,則正方體的棱長為
 

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