Question

5．已知圓C：x²+y²+2x-3=0．
（1）若經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與y軸重合的直線l與圓C相交A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，求證：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$為定值；
（2）斜率為1的直線m與圓C相交于D，E兩點(diǎn)，求直線m的方程，使△CDE的面積最大．

Answer 1

分析 （1）設(shè)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與y軸重合的直線l的方程為y=kx，聯(lián)立直線與圓的方程，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理，可得$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$為定值$\frac{2}{3}$，
（2）設(shè)斜率為1的直線m：x-y+C=0與圓C相交于D，E兩點(diǎn)，令圓心C（-1，0）到直線l的距離為d，利用基本不等式，可得當(dāng)且僅當(dāng)d²=4-d²，即d=$\sqrt{2}$時(shí)，△CDE的面積最大，代入點(diǎn)到直線距離公式，可得C值，進(jìn)而得到直線方程．

解答 證明：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與y軸重合的直線l的方程為y=kx，
由直線l與圓C相交A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+2x-3=0\\ y=kx\end{array}\right.$可得：（k²+1）x²+2x-3=0，
則x₁+x₂=$-\frac{2}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$-\frac{3}{{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{-\frac{2}{{k}^{2}+1}}{-\frac{3}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$為定值$\frac{2}{3}$，
（2）設(shè)斜率為1的直線m：x-y+C=0與圓C相交于D，E兩點(diǎn)，
令圓心C（-1，0）到直線l的距離為d，
則DE=2$\sqrt{{r}^{2}-33g8kyc^{2}}$=2$\sqrt{4-duc3b4r^{2}}$，
△CDE的面積S=$\frac{1}{2}DE•d$=$\sqrt{4-ufthkbw^{2}}$•d=$\sqrt{74v7plb^{2}•（4-mvcqj2t^{2}）}$≤$\frac{rhqdbhs^{2}+（4-nww38oa^{2}）}{2}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)d²=4-d²，即d=$\sqrt{2}$時(shí)，成立，
此時(shí)：d=$\frac{|C-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得：C=3，或C=-1，
故直線m的方程為x-y+3=0，或x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，圓的一般方程，基本不等式，點(diǎn)到直線的距離公式，是不等式與解析幾何的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度中檔．