已知數(shù)列{an}的首項a1=
5
3
,3an+1=an+2.n∈N*
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)若a1+a2+…+an<100,求最大的正整數(shù)n.
考點:數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由3an+1=an+2得3(an+1-1)=an-1,所以{an-1}是等比數(shù)列.
(Ⅱ)確定數(shù)列{an}的通項,再求和,利用a1+a2+…+an<100,求最大的正整數(shù)n.
解答: (Ⅰ)證明:∵3an+1=an+2,
∴3(an+1-1)=an-1,
∵a1=
5
3
,
∴a1-1=
2
3

∴數(shù)列{an-1}是以
2
3
為首項,
1
3
為公比的等比數(shù)列;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知:an-1=
2
3
•31-n,
∴an=2•3-n+1,
∴a1+a2+…+an=n+2(
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
)=n+1-
1
3n
,
由n+1-
1
3n
<100,可得最大的正整數(shù)n=99.
點評:本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列通項公式的求法,考查數(shù)列的求和.解題時要認真審題,注意構(gòu)造法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列向量中,與向量
c
=(2,3)不共線的一個向量
p
=( 。
A、(3,2)
B、(1,
3
2
C、(
2
3
,1)
D、(
1
3
,
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在1,2,3,…,9這9個自然數(shù)中,任取3個不同的數(shù).
(1)求這3個數(shù)中恰有2個是奇數(shù)的概率;
(2)設(shè)X為所取3個數(shù)中奇數(shù)的個數(shù),求隨機變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(a-
1
2
)x2+lnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值和最小值;
(2)證明:當(dāng)a∈(0,
1
2
]
時,在區(qū)間(1,+∞)上,不等式f(x)<2ax恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知tanα=
3
4

(1)求2+
1
2
sin2α-cos2α的值;
(2)求
sin(4π-α)cos(3π+α)cos(
π
2
+α)cos(
15π
2
-α)
cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin(
13π
2
+α)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知fn(x)=a1x+a2x2+…+anxn,fn(-1)=(-1)n•n(n∈N*).
(Ⅰ)求a1、a2、a3;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)令bn=fn
1
3
),判斷數(shù)列{bn}的單調(diào)性,并且證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b的圖象過點(0,2),且在x=1處切線的斜率為3.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)的在區(qū)間[t,t+1]上不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)t的取值范圍;
(3)若對任意數(shù)的x1∈(0,1),x2∈(0,
1
2
),都有f(x1)+2<logax2,(a>0,a≠1)成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC,點M滿足
AB
+2
AC
=3
AM
,則△ABM與△ABC的面積之比為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若a4(x-2)4+a3(x-2)3+a2(x-2)2+a1(x-2)+a0=x4,則a3-a2+a1=
 

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