【題目】對于由有限個自然數(shù)組成的集合A,定義集合S(A)={a+b|a∈A,b∈A},記集合S(A)的元素個數(shù)為d(S(A)).定義變換T,變換T將集合A變換為集合T(A)=A∪S(A).

(1)若A={0,1,2},求S(A),T(A);

(2)若集合A有n個元素,證明:“d(S(A))=2n-1”的充要條件是“集合A中的所有元素能組成公差不為0的等差數(shù)列”;

(3)若A{1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,…,25,26}T(T(A)),求元素個數(shù)最少的集合A.

【答案】(1);(2)見解析;(3)

【解析】

(1)根據(jù)定義直接進行計算即可

(2)根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合等差數(shù)列的性質進行證明

(3)首先證明:1∈A,然后根據(jù)條件分別判斷A中元素情況即可得到結論.

(1)若集合A={0,1,2},則SA)=TA)={0,1,2,3,4}.

(2)令.不妨設

充分性:設是公差為的等差數(shù)列.

.所以共有2n-1個不同的值.即dSA))=2n-1.

必要性:若dSA))=2n-1.

因為

所以SA)中有2n-1個不同的元素:

任意(1≤i,jn) 的值都與上述某一項相等.

,且

所以,所以是等差數(shù)列,且公差不為0.

(3)首先證明:1∈A.假設1A,A中的元素均大于1,從而1SA),

因此1TA),1STA)),故1TTA)),與{1,2,3,…,25,26}TTA))矛盾,因此1∈A

A的元素個數(shù)為n,SA)的元素個數(shù)至多為C+n,從而TA)的元素個數(shù)至多為C+n+n=

n=2,則TA)元素個數(shù)至多為5,從而TTA))的元素個數(shù)至多為=20,

TTA))中元素至少為26,因此n≥3.

假設A有三個元素,設,且,

則1,2,,,

從而1,2,3,4∈TTA)).若,TTA))中比4大的最小數(shù)為,則5TTA)),與題意矛盾,故≤5.

集合TTA)).中最大數(shù)為,由于26∈TTA)),故≥26,從而≥7,

i)若A={1,a2,7},且≤5.此時1,2,+1,7,8,2,7+,14∈TA),則有8+14=22,2×14=28∈TTA)),在22與28之間可能的數(shù)為14+2,21+

此時23,24,25,26不能全在TTA)).中,不滿足題意.

ii)若A={1,,8},且≤5.此時1,2,,+1,8,9,2,8+,16∈TA),則有16+9=25∈TTA)),

若26∈TTA)),則16+2=26或16+(8+)=26,

解得=5或=2.

A={1,2,8}時,15,21,23TTA)).不滿足題意.

A={1,2,8}時,

TTA))={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32},滿足題意.

故元素個數(shù)最少的集合A為{1,5,8}

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列11,2,1,24,1,2,481,2,4,816,其中第一項是,接下來的兩項是,,再接下來的三項是,,,依此類推那么該數(shù)列的前50項和為  

A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),

(1)已知為自然對數(shù)的底數(shù),求函數(shù)處的切線方程;

(2)當時,方程有唯一實數(shù)根,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在如圖所示的幾何體中,平面平面,為等腰直角三角形,,四邊形為直角梯形,,,,

1)求證:平面;

2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某商場對職工開展了安全知識競賽的活動,將競賽成績按照,,,分成組,得到下面頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖.下列說法正確的是( )

①根據(jù)頻率分布直方圖估計該商場的職工的安全知識競賽的成績的眾數(shù)估計值為;

②根據(jù)頻率分布直方圖估計該商場的職工的安全知識競賽的成績的中位數(shù)約為;

③若該商場有名職工,考試成績在分以下的被解雇,則解雇的職工有人;

④若該商場有名職工,商場規(guī)定只有安全知識競賽超過(包括)的人員才能成為安全科成員,則安全科成員有.

A.①③B.②③C.②④D.①④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某學校為了解高一新生的體質健康狀況,對學生的體質進行了測試. 現(xiàn)從男、女生中各隨機抽取人,把他們的測試數(shù)據(jù),按照《國家學生體質健康標準》整理如下表. 規(guī)定:數(shù)據(jù)≥,體質健康為合格.

等級

數(shù)據(jù)范圍

男生人數(shù)

男生平均分

女生人數(shù)

女生平均分

優(yōu)秀

良好

及格

不及格

以下

總計

--

(I)從樣本中隨機選取一名學生,求這名學生體質健康合格的概率;

(II)從男生樣本和女生樣本中各隨機選取一人,求恰有一人的體質健康等級是優(yōu)秀的概率;

(III)表中優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級的男生、女生平均分都接近(二者之差的絕對值不大于),但男生的總平均分卻明顯高于女生的總平均分.研究發(fā)現(xiàn),若去掉四個等級中一個等級的數(shù)據(jù),則男生、女生的總平均分也接近,請寫出去掉的這個等級.(只需寫出結論)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,是某海灣旅游區(qū)的一角,其中,為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境,旅游區(qū)管委會決定在直線海岸上分別修建觀光長廊AC,其中是寬長廊,造價是元/米,是窄長廊,造價是元/米,兩段長廊的總造價為120萬元,同時在線段上靠近點的三等分點處建一個觀光平臺,并建水上直線通道(平臺大小忽略不計),水上通道的造價是元/米.

(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項目,要求的面積最大,那么的長度分別為多少米?

(2) 在(1)的條件下,建直線通道還需要多少錢?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】知函數(shù)

1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;

2)設函數(shù),若的唯一極值點,求

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某公司為了預測下月產(chǎn)品銷售情況,找出了近7個月的產(chǎn)品銷售量(單位:萬件)的統(tǒng)計表:

月份代碼

1

2

3

4

5

6

7

銷售量(萬件)

但其中數(shù)據(jù)污損不清,經(jīng)查證,,.

(1)請用相關系數(shù)說明銷售量與月份代碼有很強的線性相關關系;

(2)求關于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);

(3)公司經(jīng)營期間的廣告宣傳費(單位:萬元)(),每件產(chǎn)品的銷售價為10元,預測第8個月的毛利潤能否突破15萬元,請說明理由.(毛利潤等于銷售金額減去廣告宣傳費)

參考公式及數(shù)據(jù):,相關系數(shù),當時認為兩個變量有很強的線性相關關系,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案