Question

4．已知某校的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)了A，B，C，D四門(mén)選修課，甲、乙、丙3名學(xué)生必須且只需選修其中一門(mén)．
（Ⅰ）求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率；
（Ⅱ）若甲和乙要選同一門(mén)課，求選修課A被這3名學(xué)生選修的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式即可求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率；
（Ⅱ）求出隨機(jī)變量的概率，即可求出對(duì)應(yīng)的分布列和期望．

解答 解：（I） 3名學(xué)生選擇的選修課所有不同選法有4³=64種； …（2分）
各人互不相同的選法有${A}_{4}^{3}=24$種，互不相同的概率：${P}_{1}=\frac{{A}_{4}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{24}{64}=\frac{3}{8}$； …（4分）
（II） 選修課A被這3名學(xué)生選修的人數(shù)X：0，1，2，3，…（5分）
P（x=0）=$\frac{{3}^{2}}{{4}^{2}}$=$\frac{9}{16}$，P（x=1）=$\frac{3}{{4}^{2}}$=$\frac{3}{16}$  P（x=2）=$\frac{3}{{4}^{2}}$=$\frac{3}{16}$，P（x=3）=$\frac{1}{{4}^{2}}$=$\frac{1}{16}$，…（9分）
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

…（10分）
數(shù)學(xué)期望EX=0×$\frac{9}{16}$+1×$\frac{3}{16}$+2×$\frac{3}{16}$+3×$\frac{1}{16}$=$\frac{3}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查古典概率的計(jì)算以及隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．