Question

對于恰有120個元素的集合A．問是否存在子集A₁，A₂，…，A₁₀滿足：
（1）|A_i|=36，i=1，2，…，10；
（2）A₁∪A₂∪…∪A₁₀=A；
（3）|A_i∩A_j|=8，i≠j．請說明理由．

Answer 1

考點：子集與真子集

專題：集合

分析：存在．考慮長度為10的0，1數(shù)列．其中僅3項為1的恰有

C

3 10

=120個，每個作為集合A的一個元素．對每個j=1，2，…，10，第j項為1的0，1數(shù)列恰有

C

2 9

=36個，它們是集合A_j的36個元素．對每對i，j∈{1，2，…，10}（i＜j），第i項與第j項均為1的0，1數(shù)列恰有

C

1 8

=8個，它們是A_i∩A_j的元素．即可得出．

解答： 解：存在．
考慮長度為10的0，1數(shù)列．其中僅3項為1的恰有

C

3 10

=120個，每個作為集合A的一個元素．
對每個j=1，2，…，10，第j項為1的0，1數(shù)列恰有

C

2 9

=36個，它們是集合A_j的36個元素．
對每對i，j∈{1，2，…，10}（i＜j），第i項與第j項均為1的0，1數(shù)列恰有

C

1 8

=8個，它們是A_i∩A_j的元素．
綜上知，存在滿足條件的10個子集．

點評：本題考查了具有特殊性質(zhì)的集合、集合的運算，屬于難題．