Question

5．已知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓的長軸端點分別為A₁，A₂，P為橢圓上任意一點，且△PA₁A₂面積的最大值為$\sqrt{2}$，則橢圓C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1

Answer 1

分析 由題意，當P為橢圓短軸的一個端點時，△PA₁A₂面積最大，由離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△PA₁A₂面積的最大值為$\sqrt{2}$及隱含條件列式求得a²，b²，則答案可求．

解答 解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，即a²=2c²，①
由題意可知，當P為橢圓短軸的一個端點時，△PA₁A₂面積最大，
∴$\frac{1}{2}•2a•b=\sqrt{2}$，即$ab=\sqrt{2}$，②
又a²=b²+c²，③
聯(lián)立①②③，解得：a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓方程的求法，關鍵是明確使△PA₁A₂面積取最大值時的P的位置，是中檔題．