Question

從雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的左焦點F引圓x²+y²=9的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則|MO|-|MT|=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由雙曲線方程，算出c=5，根據三角形中位線定理和圓的切線的性質，并結合雙曲線的定義可得|MO|-|MT|=4-a=1，得到本題答案．

解答： 解：設雙曲線的右焦點為F′，則MO是△PFF′的中位線，
∴|MO|=

1

2

|PF′|，|MT|=

1

2

|PF|-|FT|，
根據雙曲線的方程得：
a=3，b=4，c=5，∴|OF|=5，
∵PF是圓x²+y²=9的切線，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|=4，
∴|MO|-|MT|=|=

1

2

|PF′|-（

1

2

|PF|-|FT|）=|FT|-

1

2

（|PF|-|PF′|）=4-a=1
故答案為：1．

點評：本題給出雙曲線與圓的方程，求|MO|-|MT|的值，著重考查了雙曲線的簡單性質、三角形中位線定理和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．