Question

【題目】已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中A為銳角，且asin（B+C）是bcosC與ccosB的等差中項．

（1）求角A的大小；

（2）若點D在△ABC的內部，且滿足∠CAD＝∠ABD，∠CBD，AD＝1，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）A．（2）．

【解析】

（1）由已知得出條件等式，由正弦定理、兩角和正弦公式化簡，即可求出；

（2）根據已知條件在中，用余弦定理求出，在中，用正弦定理求出，在中，用余弦定理，求出.

（1）∵asin（B+C）是bcosC與ccosB的等差中項．

∴2asin（B+C）bcosCccosB，

∴可得：2sin2A（sinBcosC+sinCcosB）sin（B+C）sinA，

∵A為銳角，sinA≠0，

∴sinA，可得A．

（2）∵滿足∠CAD＝∠ABD，∠CBD，A，AD＝1，

∴∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD＝1，∠ADB，

∴在△ABD中，由余弦定理可得

AB

，

∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC，

可得∠ACB＝π﹣∠BAC﹣∠ABC，

∴△ABC中，由正弦定理，

可得，可得BC，

∴△BDC中，由余弦定理可得：

CD

．