Question

9．如圖，拋物線C₁：y²=2px與橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在第一象限的交點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，△OAB的面積為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）過A點(diǎn)作直線l交C₁于C、D 兩點(diǎn)，射線OC、OD分別交C₂于E、F兩點(diǎn)，記△OEF和△OCD的面積分別為S₁和S₂，問是否存在直線l，使得S₁：S₂=3：77？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過三角形△OAB的面積，求出B的縱坐標(biāo)，然后求出橫坐標(biāo)，代入拋物線的方程，求出p，即可得到拋物線方程．
（Ⅱ） 存在直線l：x±11y-4=0符合條件．通過設(shè)直線l的方程x=my+4，與拋物線聯(lián)立，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），通過$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}=\frac{|{y}_{1}||{y}_{2}|}{|{y}_{E}||{y}_{F}|}$，求出${y_E}^2•$${y_F}^2=\frac{36×256}{{121+48{m^2}}}$，然后求出m，得到直線l即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)椤鱋AB的面積為$\frac{{8\sqrt{6}}}{3}$，所以${y_B}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，…（2分）
代入橢圓方程得$B（\frac{4}{3}，\frac{{4\sqrt{6}}}{3}）$，
拋物線的方程是：y²=8x…（4分）
（Ⅱ） 存在直線l：x±11y-4=0符合條件
解：顯然直線l不垂直于y軸，故直線l的方程可設(shè)為x=my+4，
與y²=8x聯(lián)立得y²-8my-32=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁•y₂=-32
∴$\frac{S_2}{S_1}=\frac{{\frac{1}{2}|{OC}||{OD}|sin∠COD}}{{\frac{1}{2}|{OE}||{OF}|sin∠EOF}}=\frac{{|{OC}||{OD}|}}{{|{OE}||{OF}|}}=\frac{{|{y_1}||{y_2}|}}{{|{y_E}||{y_F}|}}$=$\frac{32}{{|{{y_E}{y_F}}|}}$．…（6分）
由直線OC的斜率為$\frac{y_1}{x_1}=\frac{8}{y_1}$，故直線OC的方程為$y=\frac{8}{y_1}x$，與$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$聯(lián)立得${y_E}^2（\frac{{{y_1}^2}}{64•16}+\frac{1}{12}）=1$，同理${y_F}^2（\frac{{{y_2}^2}}{64•16}+\frac{1}{12}）=1$，
所以${y_E}^2•$${y_F}^2（\frac{{{y_1}^2}}{64•16}+\frac{1}{12}）（\frac{{{y_2}^2}}{64•16}+\frac{1}{12}）=1$…（8分）
可得${y_E}^2•$${y_F}^2=\frac{36×256}{{121+48{m^2}}}$
要使$\frac{S_2}{S_1}=\frac{77}{3}$，只需$\frac{{{{32}^2}（121+48{m^2}）}}{36×256}={（{\frac{77}{3}}）^2}$…（10分）
即121+48m²=49×121
解得m=±11，
所以存在直線l：x±11y-4=0符合條件…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．