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【題目】已知橢圓,其離心率為,以原點為圓心,橢圓的短軸長為直徑的圓被直線截得的弦長等于.

(1)求橢圓的方程;

(2)設為橢圓的左頂點,過點的直線與橢圓的另一個交點為,與軸相交于點,過原點與平行的直線與橢圓相交于兩點,問是否存在常數,使恒成立?若存在,求出;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

(1)由橢圓的短軸長為直徑的圓被直線截得的弦長等于求得,再由離心率為求得,問題得解。

(2)設直線的方程為,分別表示出點M,N的坐標,從而表示出,聯立直線與橢圓方程,即可表示出,問題得解。

(1)由題意設圓的半徑等于,

圓心到直線的距離為

,,

∵離心率

,

,

∴題意的方程為.

(2)由(1)知點坐標為,顯然直線的斜率存在,設直線的方程為,則,由,

,

則由題意可知,,

,

,

直線方程為,由,

,

,

∴存在常數,使恒成立.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知幾何體,其中四邊形為直角梯形,四邊形為矩形, ,且, .

(1)試判斷線段上是否存在一點,使得平面,請說明理由;

(2)若,求該幾何體的表面積.

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(2)求面積的最大值。

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【題目】如圖,在四棱錐 中, 平面 ,底面是等腰梯形,且 ,其中 .

1)證明:平面 平面 .

2)求點 到平面 的距離。

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【題目】為了解高一學生暑假里在家讀書情況,特隨機調查了50名男生和50名女生平均每天的閱讀時間(單位:分鐘),統計如下表:

(1)根據統計表判斷男生和女生誰的平均讀書時間更長?并說明理由;

(2)求100名學生每天讀書時間的平均數,并將每天平均時間超過和不超過平均數的人數填入下列的列聯表:

(3)根據(2)中列聯表,能否有99%的把握認為“平均閱讀時間超過或不超過平均數是否與性別有關?”

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】甲廠以千克/小時的速度勻速生產某種產品(生產條件要求),每小時可獲得利潤是.

1)要使生產該產品小時獲得的利潤不低于元,求的取值范圍;

2)要使生產千克該產品獲得的利潤最大,問:甲廠應該選取何種生產速度?并求此最大利潤.

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【題目】某運動員每次射擊命中不低于8環(huán)的概率為,命中8環(huán)以下的概率為,現用隨機模擬的方法估計該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率:先由計算器產生09之間取整數值的隨機數,指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環(huán),6、7、8、9表示命中8環(huán)以下,再以每三個隨機數為一組,代表三次射擊的結果,產生了如下20組隨機數:

據此估計,該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率為(

A. B.

C. D.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知圓經過橢圓 的兩個焦點和兩個頂點,點, , 是橢圓上的兩點,它們在軸兩側,且的平分線在軸上, .

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)證明:直線過定點.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)直線過定點.

【解析】試題分析】(I)根據圓的半徑和已知 ,,由此求得橢圓方程.(II)設出直線的方程,聯立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點.

試題解析】

(Ⅰ)圓軸交點即為橢圓的焦點,圓軸交點即為橢圓的上下兩頂點,所以, .從而

因此橢圓的方程為: .

(Ⅱ)設直線的方程為.

,消去.

, ,則, .

直線的斜率

直線的斜率 .

.

的平分線在軸上,得.又因為,所以,

所以.

因此,直線過定點.

[點睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關系,考查直線與圓錐曲線位置關系. 涉及直線與橢圓的基本題型有:(1)位置關系的判斷.(2)弦長、弦中點問題.(3)軌跡問題.(4)定值、最值及參數范圍問題.(5)存在性問題.常用思想方法和技巧有:(1)設而不求.(2)坐標法.(3)根與系數關系.

型】解答
束】
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【題目】已知函數,且).

(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;

(Ⅱ)求函數上的最大值.

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【題目】已知二次函數對任意的都有,且

1)求函數的解析式;

2)設函數

①若存在實數,使得在區(qū)間上為單調函數,且取值范圍也為,求的取值范圍;

②若函數的零點都是函數的零點,求的所有零點.

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