Question

設(shè)非空集合S具有如下性質(zhì)：

①元素都是正整數(shù)；②若x∈S，則10－x∈S.

(1)請(qǐng)你寫(xiě)出符合條件，且分別含有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)元素的集合S各一個(gè)．

(2)是否存在恰有6個(gè)元素的集合S？若存在，寫(xiě)出所有的集合S；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)由(1)、(2)的解答過(guò)程啟發(fā)我們，可以得出哪些關(guān)于集合S的一般性結(jié)論(要求至少寫(xiě)出兩個(gè)結(jié)論)?

Answer 1

[解析]　(1)由題意可知，若集合S中含有一個(gè)元素，則應(yīng)滿足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．

若集合S中含有兩個(gè)元素，設(shè)S＝{a，b}，則a，b∈N_＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一個(gè)：

{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，

若集合S中含有3個(gè)元素，由集合S滿足的性質(zhì)可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一個(gè)．

(2)存在含有6個(gè)元素的非空集合S如下所示：

S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4個(gè)．

(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，則S中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，若5∉S，則S中元素個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)．