Question

下列函數(shù)中，在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（　　）

• A、f（x）=sin2x
• B、f（x）=xe^x
• C、f（x）=x³-x
• D、f（x）=-x+lnx

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：A中f（x）=sin2x在（0，+∞）上無單調(diào)性；
B中，利用導(dǎo)數(shù)判定f（x）=xe^x在（0，+∞）上是增函數(shù)；
C中，利用導(dǎo)數(shù)判定f（x）=x³-x在（0，

1

3

）上是減函數(shù)，在（

1

3

，+∞）上是增函數(shù)；
D中，利用導(dǎo)數(shù)判定f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．

解答： 解：對(duì)于A，f（x）=sin2x是周期函數(shù)，在（0，+∞）上無單調(diào)性，∴不滿足題意；
對(duì)于B，∵f（x）=xe^x，∴f′（x）=（1+x）e^x，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
對(duì)于C，∵f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，
∴當(dāng)x∈（0，

1

3

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
x∈（

1

3

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；∴不滿足題意；
對(duì)于D，∵f（x）=-x+lnx，∴f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，∴不滿足題意．
綜上，在（0，+∞）上為增函數(shù)的是B．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了判定函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性問題，解題時(shí)可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判定單調(diào)性，是綜合題目．