Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，在定義域內(nèi)存在，使得，求證：；

（3）記為的反函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題意對函數(shù)求導(dǎo)，按照、、分類討論，解出、的解集即可得解；

（2）求導(dǎo)后，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，令，求導(dǎo)后可證明當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可得，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得證；

（3）令，求導(dǎo)可得當(dāng)時(shí)，即，作差后放縮即可得證.

（1）由題意，

則，

令，則，，

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，

故函數(shù)在，上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）證明：由題意，則，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以，

令，

則，

可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

又，所以當(dāng)時(shí)，，

所以，所以，

由可得，

所以；

（3）證明：由題意，則原不等式可化為，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，所以，

所以當(dāng)時(shí)，即，

所以，

所以即.