Question

【題目】已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和 (n為正整數(shù))。

（1）令，求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；

（2）令，試比較與的大小，并予以證明．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)，當(dāng)時(shí).

【解析】

試題分析：（1）已知，一般利用進(jìn)行化簡條件，當(dāng)時(shí)，，，又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，于是.（2）由（1）得，是等差乘等比型，所以其和求法為“錯(cuò)位相減法”， 即得.數(shù)列中比較大小，一般用作差，即,而比較的大小，有兩個(gè)思路，一是數(shù)學(xué)歸納法，二是二項(xiàng)展開式定理.

試題解析：（1）在中，令n=1，可得，即 1

當(dāng)時(shí)，， 2

.

又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列 4

于是 .6

(2)由（1）得，所以

由①-②得

9

2

于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小

猜想：當(dāng)證明如下：

證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由猜想顯然成立．

（2）假設(shè)時(shí)猜想成立．即

則時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)猜想也成立

綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數(shù)，都有

證法2：當(dāng)時(shí)

綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí) 14