Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷函f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由：
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），證明即可，
（Ⅱ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)f（x）為單調(diào)性，即可求出．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

∴f（-x）=

2-x-1

2x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），
∴當(dāng)a=l時(shí)，證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（Ⅱ）∵f′（x）=a-

2

2x+1

=

2xln2

2x+1

，
又2^x＞0，2^x+1＞1，ln2＞0，
∴f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)．，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為2，
∴f（-1）=2，
即a-

2

2-1+1

=2，
解得a=

10

3

點(diǎn)評(píng)：題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和單調(diào)性的定義．