Question

S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=

1

4

（a_n+3）（a_n-1）．
（1）求通項公式a_n；
（2）設(shè)b_n=

an+1

an

+

an

an+1

，且{b_n}前n項和為T_n，求證：T_n＞2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用已知條件能求出a_n=2n+1．
（2）由b_n=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+3

2n+1

+

2n+1

2n+3

=2+

2

2n+1

-

2

2n+3

，利用裂項求和法能證明T_n＞2n．

解答： （1）解：∵S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=

1

4

（a_n+3）（a_n-1），
∴a1=S1=

1

4

(a1+3)(a1-1)，
解得a₁=3或a₁=-1（舍）
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（a_n+3）（a_n-1）-

1

4

（a_n-1+3）（a_n-1-1）
化簡，an2-2an=an-12+2an-1，
兩邊加1，得（a₁-1）²=（a_n-1+1）²，
∴a_n-1=a_n-1+1或1-a_n=a_n-1+1（舍）
∴a_n=a_n-1+2，∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）證明：b_n=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+3

2n+1

+

2n+1

2n+3

=2+

2

2n+1

-

2

2n+3

，
∴T_n=2n+2（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=2n+2（

1

3

-

1

2n+3

）＞2n．
∴T_n＞2n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．