Question

如圖，已知A?α，B?α，PA，PB是平面α的兩條斜線，且P?α，點P在α內的射影為O，若斜線PA、PB與平面α所成角相等．
（1）求證：PA=PB；
（2）若平面PAB與平面α所成角為60°，且PA=5，AB=6，求異面直線PO與AB的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由線面垂直得PO⊥AO，PO⊥BO，由此能推導出Rt△POA≌Rt△POB，由此證明PA=PB．
（2）取AB的中點為M，則PM⊥AB，OM⊥AB，∠PMO是面PAB與α所成二面角的平面角，由已知條件推導出OM是異面直線PO與AB的公垂線段，由此能求出異面直線PO與AB的距離．

解答： （1）證明：PO⊥面ABC，∴PO⊥AO，PO⊥BO，
且∠PAO，∠PBO是SA，SB與平面α所成的角，
∠PAO=∠PBO，又PO=PO，
∴Rt△POA≌Rt△POB，
于是得：PA=PB．
（2）解：∵PA=PB，且AO⊥面α，∴AO=BO，
取AB的中點為M，則PM⊥AB，OM⊥AB，
∴∠PMO是面PAB與α所成二面角的平面角，
于是得∠PMO=60°，
PO⊥面ABC，OM?面ABC，得OM⊥PO，又OM⊥AB，
且OM∩AB=M，OM∩PO=O，
∴OM是異面直線PO與AB的公垂線段，
在Rt△PMO中，PM=

52-32

=4，
又∠PMO=60°，∴OM=2．
故異面直線PO與AB的距離為2．

點評：本題考查兩直線相等的求法，考查異面直線的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．