Question

如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中點(diǎn)，G是AE，DF的交點(diǎn)．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）求證：面ADEF⊥面ABCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證GH∥平面CDE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證GH與平面CDE內(nèi)一直線平行，而G是AE，DF的交點(diǎn)，G是AE中點(diǎn)，又H是BE的中點(diǎn)，則GH∥AB，而AB∥CD，則GH∥CD，CD?平面CDE，GH?平面CDE，滿足定理所需條件．
（2）利用線面垂直的判定定理證明ED⊥面ABCD，即可證明面AFED⊥面ABCD．

解答： 證明：（1）∵四邊形ADEF是正方形，G是AE，DF的交點(diǎn)，
∴G是AE中點(diǎn)，
又H是BE的中點(diǎn)，
∴△EAB中，GH∥AB，---------------2分
∵ABCD為平行四邊形
∴AB∥CD
∴GH∥CD，----------------------------------------------4分
又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE
∴GH∥平面CDE-------------------7分
（2）∵BD⊥平面CDE，
∴BD⊥ED，-------------------9分
∵四邊形AFED為正方形，∴ED⊥AD，------------------10分
∵AD∩BD=D，ED⊥面ABCD，------------------12分
∵ED?面AFED，
∴面AFED⊥面ABCD．----------------14分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直、面面垂直的判定定理．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力．