Question

10．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是B₁C₁，C₁D₁的中點．
（1）異面直線EF與A₁D所成的角的大小；
（2）求證EF∥平面A₁BD；
（3）求證EF⊥平面AA₁C₁C；
（4）求證：平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）通過平移直線作出異面直線EF與A₁D所成的角，在三角形中即可求得．
（2）利用EF∥B₁D₁，EF?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，證明EF∥平面A₁BD；
（3）證明BD⊥平面AA₁C₁C，即可證明EF⊥平面AA₁C₁C；
（4）利用BD⊥平面AA₁C₁C，證明平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C．

解答 （1）解：連接B₁D₁，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由B₁B=D₁D，B₁B∥D₁D，可知B₁D₁∥BD，
在△B₁C₁D中，E，F(xiàn)分別是B₁C₁，C₁D₁的中點，所以，有EF∥B₁D₁，
所以∠A₁DB就是異面直線EF與A₁D所成角，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，△A₁DB就是正三角形，∠A₁DB就=60°
故異面直線EF與A₁D所成角的大小為60°；
（2）證明：∵EF∥B₁D₁，EF?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
∴EF∥平面A₁BD；
（3）證明：∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁；
又BD⊥AC，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C；
∵EF∥BD，
∴EF⊥平面AA₁C₁C；
（4）證明：∵BD⊥平面AA₁C₁C，BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C．

點評 本題考查異面直線所成的角及其求法，考查線面平行、垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．