3.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BA⊥AD,AD=CD=2AB=2PA=2,AB∥CD,E是PC的中點(diǎn),F(xiàn)是DC上一動(dòng)點(diǎn),R是PB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:當(dāng)F是DC中點(diǎn)時(shí),無論R在PB上的何處,都有平面BEF⊥平面RCD;
(2)若CF=2DF,當(dāng)DR∥平面EFB時(shí),求四棱錐R-ABCD的體積.

分析 (1)由PA⊥底面ABCD得PA⊥CD,由BA⊥AD,AB∥CD得CD⊥AD,故CD⊥平面PAD,推出CD⊥PD,又EF∥PD,從而CD⊥EF;由F為CD中點(diǎn)可易證四邊形ABFD是矩形,得到CD⊥BF,于是CD⊥平面EBF.所以平面BEF⊥平面RCD;
(2)連結(jié)CR交BE于H,連結(jié)FH,則由DR∥平面EFB得FH∥DR,推出$\frac{CH}{HR}=\frac{CF}{FD}$=2,故H是△PBC的重心,即R為PB中點(diǎn),于是V四棱錐R-ABCD=$\frac{1}{2}$V四棱錐P-ABCD

解答 證明:(1)∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵BA⊥AD,AB∥CD,
∴CD⊥AD,
又∵AD?平面PAD,PA?平面PAD,AD∩PA=A,
∴CD⊥平面PAD,∵PD?平面PAD,
∴CD⊥PD,
∵EF是△PCD的中位線,∴EF∥PD,
∴CD⊥EF,
∵AB∥CD,AB=$\frac{1}{2}$CD=DF,BA⊥AD,
∴四邊形ABFD是矩形,
∴CD⊥BF,∵BF?平面BEF,EF?平面BEF,BF∩EF=F,
∴CD⊥平面BEF,∵CD?平面RCD,
∴平面BEF⊥平面RCD.
(2)連結(jié)CR交BE于H,連結(jié)FH,
∵DR∥平面EFB,DR?平面RDC,平面RDC∩平面BEF=FH,
∴FH∥DR,
∴$\frac{CH}{HR}=\frac{CF}{FD}$=2,∵BE是△PBC的中線,
∴H是△PBC的重心,即R為PB中點(diǎn),
∴V四棱錐R-ABCD=$\frac{1}{2}$V四棱錐P-ABCD=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$•S梯形ABCD•PA=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$•(1+2)•2•1=$\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定和幾何體的體積,尋求R到底面的距離與PA的比例關(guān)系是關(guān)鍵.

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A.[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$]B.[$\frac{3}{2}$,+∞)C.(0,$\frac{3}{2}$]D.(-∞,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,+∞)

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