Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，平面PBD⊥平面ABCD，AD=2，PD=2

5

，AB=PB=4，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）E是側(cè)棱PC上一點(diǎn)，記

PE

PC

=λ，當(dāng)PB⊥平面ADE時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AD⊥BD，利用平面PBD⊥平面ABCD，交線為BD，可得AD⊥平面PBD，從而AD⊥PB；
（Ⅱ）作EF∥BC，交PB于點(diǎn)F，連接AF，連接DF，△PBD中，由余弦定理求得cos∠BPD=

3

2 5

，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：在△ABD中，∵AD=2，AB=4，∠BAD=60°，
∴由余弦定理求得BD=2

3

．
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
∵平面PBD⊥平面ABCD，交線為BD，
∴AD⊥平面PBD，
∴AD⊥PB．…6分
（Ⅱ）解：作EF∥BC，交PB于點(diǎn)F，連接AF，
由EF∥BC∥AD可知A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，
連接DF，所以由（Ⅰ）的結(jié)論可知，PB⊥平面ADE當(dāng)且僅當(dāng)PB⊥DF．
在△PBD中，由PB=4，BD=2

3

，PD=2

5

，
余弦定理求得cos∠BPD=

3

2 5

，
∴在RT△PDF中，PF=PDcos∠BPD=3，
因此λ=

PE

PC

=

PF

PB

=

3

4

．…12分．

點(diǎn)評：本題考查立體幾何有關(guān)知識，考查線面、面面垂直，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．