Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，F(xiàn)E

∥ .

.

1

2

AD，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=2，點G為AC的中點．
（Ⅰ）求證：EG∥平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB的中點M，連FM，GM，先證明出四邊形GMFE為平行四邊形，進(jìn)而推斷出EG∥FM，最后由線面平行的判定定理證明出EG∥平面ABF．
（Ⅱ）先作出三棱錐的高EN，通過證明出∠EAD=60°，求得AE，然后求得三角形BAG的面積，最后根據(jù)棱錐體積公式求得答案．

解答： （Ⅰ）證明：取AB的中點M，連FM，GM，
∵G為對角線AC的中點，
∴GM∥AD，且GM=

1

2

AD，
∵EF∥AD，

∴MG∥EF，且EF=GM，
∴四邊形GMFE為平行四邊形，
∴EG∥FM，
∴EG∥平面ABF．
（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足為N，
由平面ABCD⊥面AEFD，面ABCD∩面AEFD=AD，
∴EN⊥面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高，
∵在△AEF中，AF=FB，∠AFE=60°，
∴△AEF是正三角形，
∴∠AEF=60°，
由EF∥AD，知∠EAD=60°，
∴EN=AE•sin60°=

3

，
MG=

1

2

AD=EF=2，
∴S_△ABG=

1

2

×2×2=2，
∴三棱錐B-AEG的體積為：

1

3

×2×

3

=

2 3

3

．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，棱錐體積的計算公式．考查了學(xué)生綜合的觀察能力和思維能力．