Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的離心率等于

3

2

，點(diǎn)P（2，

3

）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)Q（2，0）的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，是否存在定直線(xiàn)l′：x=t，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線(xiàn)BM上？若存在，求出一個(gè)滿(mǎn)足條件的t值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意可得：

c a = 3 2 4 a2 + 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，M(2，

3

)，N(2，-

3

)，聯(lián)立直線(xiàn)AN、BM的方程可得G(8，-2

3

)．猜測(cè)常數(shù)t=8．
即存在定直線(xiàn)l′：x=t，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線(xiàn)BM上．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（8，t）．把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，由于

AG

=（12，t），

AN

=（x₂+4，y₂），利用三點(diǎn)共線(xiàn)可得t（x₂+4）-12y₂=0，只要證明三點(diǎn)B，M，G共線(xiàn)即可．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其根與系數(shù)的關(guān)系即可證明．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的離心率等于

3

2

，點(diǎn)P（2，

3

）在橢圓上．
∴

c a = 3 2 4 a2 + 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=16，b²=4，c=2

3

．∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，M(2，

3

)，N(2，-

3

)，直線(xiàn)AN、BM的方程分別為y=

3

-6

(x+4)，y=

3

2-4

(x-4)．
分別化為：

3

x+6y+4

3

=0，

3

x+2y-4

3

=0．聯(lián)立解得G(8，-2

3

)．猜測(cè)常數(shù)t=8．
即存在定直線(xiàn)l′：x=t，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線(xiàn)BM上．
證明：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（8，t）．
聯(lián)立

y=k(x-2) x2+4y2=16

，化為（1+4k²）x²-16k²x+16k²-16=0．
∴x1+x2=

16k2

1+4k2

，x1x2=

16k2-16

1+4k2

．
∵

AG

=（12，t），

AN

=（x₂+4，y₂），三點(diǎn)A，N，G共線(xiàn)．
∴t（x₂+4）-12y₂=0，∴t=

12y2

x2+4

=

12k(x2-2)

x2+4

由于

BG

=（4，t），

BM

=（x₁-4，y₁），要證明三點(diǎn)B，M，G共線(xiàn)．
即證明t（x₁-4）-4y₁=0．即證明

12k(x2-2)(x1-4)

x2+4

-4k（x₁-2）=0，
而3（x₂-2）（x₁-4）-（x₁-2）（x₂+4）=2x₁x₂-10（x₁+x₂）+32=

32(k2-1)

1+4k2

-

160k2

1+4k2

+32=0，
∴

12k(x2-2)(x1-4)

x2+4

-4k（x₁-2）=0成立．
∴存在定直線(xiàn)l′：x=8，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線(xiàn)BM上．
綜上可知：存在定直線(xiàn)l′：x=8，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線(xiàn)BM上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線(xiàn)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．