Question

18．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2$\sqrt{17}$，點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）證明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四棱錐D-GEFH的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明GH∥EF，只需證明EF∥平面PBC，只需證明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；
（Ⅱ）求出四邊形GEFH的上底、下底及高，求出面積，D到平面GEFH的距離為6，即可求四棱錐D-GEFH的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC?平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ）解：連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK．
∵PA=PC，O為AC中點(diǎn)，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC?底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO?平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴$\frac{EB}{AB}=\frac{KB}{DB}$=$\frac{1}{4}$，
∴KB=$\frac{1}{4}$DB=$\frac{1}{2}$OB，即K為OB中點(diǎn)，
又∵PO∥GK，
∴GK=$\frac{1}{2}$PO，即G為PB中點(diǎn)，且GH=$\frac{1}{2}$BC=4，
由已知可得OB=4$\sqrt{2}$，PO=6，
∴GK=3，
故四邊形GEFH的面積S=$\frac{1}{2}（4+8）×3$=18
∵D到平面GEFH的距離為6，
∴四棱錐D-GEFH的體積為$\frac{1}{3}×18×6$=36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查四棱錐D-GEFH的體積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．