Question

關于x的不等式|x-2|＜|ax|（a＞0）恰有三個正整數(shù)解，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：不等式的解法及應用

分析：首先根據(jù)|x-2|＜|ax|（a＞0），可得

|x-2|

|x|

＜a，整理，可得1-a＜

2

x

＜1+a；然后分類討論，求出a的取值范圍即可．

解答： 解：由|x-2|＜|ax|（a＞0），
可得

|x-2|

|x|

＜a，
整理，可得1-a＜

2

x

＜1+a；
①當1-a=0，即a=1時，
可得x＞

2

3

，有無數(shù)個正整數(shù)解，
所以a=1時，不符合題意；
②當1-a＜0時，即a＞1時，
x＞

2

1+a

，有無數(shù)個正整數(shù)解，
所以a＞1時，不符合題意；
③當1-a＞0時，即0＜a＜1時，

2

1+a

＜x＜

2

1-a

，
因為1＜

2

1+a

＜2，不等式恰有三個正整數(shù)解，
可得不等式的正整數(shù)解是從2開始的3個連續(xù)正整數(shù)，
即不等式的三個正整數(shù)解是2、3、4，
所以4＜

2

1-a

≤5，
解得

1

2

＜a≤

3

5

，
則a的取值范圍為（

1

2

，

3

5

]．
故答案為：（

1

2

，

3

5

]．

點評：本題主要考查了求不等式的整數(shù)解的方法，考查了分類討論思想的運用，屬于中檔題．