Question

設G，M分別為不等邊三角形ABC的重心和外心，A（-1，0），B（1，0），且

GM

∥

AB

（1）求點C的軌跡P的方程；
（2）是否存在直線L過點（0，1），并與曲線P交于R，T兩點，且滿足

OR

•

OT

=0，若存在，求出直線L的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數量積的運算

專題：

分析：（1）可設C點的坐標為（x，y），由重心坐標的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y），再由外心M在AB的垂直平分線上，而AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標為零，則可設外心坐標M（0，b），由GM∥AB可得M（0，

1

3

y），由外心定義，CM=AM=BM，AM已經等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可，代入距離公式可求點C的軌跡方程．
（2）假設存在直線l滿足條件，設直線l方程為y=kx+1，聯立直線與橢圓的方程，由

OR

•

OT

=0，根據方程的根與系數的關系代入可求k，即可求出直線L的方程．

解答： 解：（1）設C（x，y）（xy≠0），則
由重心坐標的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y）
外心M在AB的垂直平分線上，顯然AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標為零；
設外心坐標M（0，b），由GM∥AB可知

1

3

y=b
那么就確定了外心坐標M（0，

1

3

y）
由外心定義，CM=AM=BM，AM已經等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM，
∴x²+（y-

1

3

y）²=（-1-0）²+（

1

3

y）²，
整理可得點C的軌跡方程為x²+

y2

3

=1（xy≠0）；
（2）假設存在直線l滿足條件，設直線l方程為y=kx+1，
與x²+

y2

3

=1聯立，消去x，得（3+k²）x²+2kx-2=0    
∵直線l與曲線P交于R，T兩點兩點，∴△=4k²+8（2+k²）＞0
設PRx₁，y₁），T（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2k

3+k2

，x₁x₂=-

2

3+k2

，
∵

OR

•

OT

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，（1+k²）（-

2

3+k2

）+k（-

2k

3+k2

）+1=0
解得k²=

1

3

，∴k=±

3

3

故存在直線l：y=±

3

3

+1，使得

OR

•

OT

=0．

點評：本題主要考查了三角形的外心與重心性質的應用，點的軌跡方程的求解，直線與橢圓相交關系中的方程的根與系數關系的應用及一定的推理與運算的能力的考查，具有一定的綜合性．