Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列{A_n}、{B_n}、{C_n}，其中A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）滿足：向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，且點(diǎn)列{B_n}在方向向量為（1，6）的直線上，a₁=a，b₁=-a．
（1）試用a與n表示a_n（n≥2）；
（2）若a₆與a₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是a_n的最小值，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量

AnAn+1

與

BnCn

的坐標(biāo)，再由

AnAn+1

與

BnCn

共線得到點(diǎn)列A_n、B_n的縱坐標(biāo)的關(guān)系，由直線的方向向量求出直線的斜率，利用斜率公式即可得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，從而求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用累加法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解；
（2）將數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式用a表示，發(fā)現(xiàn)其函數(shù)模型為二次函數(shù)，在a₆與a₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)，則確定了對(duì)稱軸的范圍，從而解得a的范圍．

解答： 解：（1）由A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0），
得：

AnAn+1

=（1，a_n+1-a_n），

BnCn

=（-1，-b_n）．
∵向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，
∴1×（-b_n）-（-1）×（a_n+1-a_n）=0，即a_n+1-a_n=b_n．
又{B_n}在方向向量為（1，6）的直線上，
∴

bn+1-bn

n+1-n

=6，即b_n+1-b_n=6．
∴b_n=b₁+6（n-1）=-a+6（n-1），
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=a+（-a）+（-a+6）+（-a+6×2）+…+[-a+6（n-2）]
=6[1+2+…+（n-2）]-a（n-1）
=6×

(1+n-2)(n-2)

2

-a（n-1）
=3（n-1）（n-2）-a（n-1）
=3n²-（9+a）n+6+2a（n≥2）；
（2）二次函數(shù)f（x）=3x²-（9+a）x+6+2a的圖象是開口向上，對(duì)稱軸為x=

a+9

6

的拋物線．
又∵在a₆與a₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是a_n的最小值，故對(duì)稱軸x=

a+9

6

在[

11

2

，

15

2

]內(nèi)，
即

11

2

≤

a+9

6

≤

15

2

，
∴24≤a≤36．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了向量共線的條件，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了利用類加法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，是中高檔題．