Question

已知向量

m

=（sin（2x+

π

6

），sinx），

n

=（1，sinx），f（x）=

m

•

n

-

1

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，a=2

3

，f(

A

2

)=

1

2

，若

3

sin（A+C）=2cosC，求b的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由f(

A

2

)=

1

2

，可得A，利用兩角和與差的三角函數(shù)以及正弦定理結(jié)合

3

sin（A+C）=2cosC，即可求邊b的長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1-cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x…（4分）
所以f（x）遞減區(qū)間是[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z．…（5分）
（Ⅱ）由f(

A

2

)=

1

2

和f(x)=

3

2

sin2x得：sinA=

3

3

…（6分）
若cosA=

6

3

，而sin(A+C)=

3

3

cosC+

6

3

sinC
又

3

sin(A+C)=2cosC，所以cosC=

2

sinC
∵0＜C＜π，所以cosC=

6

3

若cosA=-

6

3

，同理可得：cosC=-

6

3

，顯然不符合題意，舍去．…（9分）
∴sinB=sin(A+C)=

2

3

cosC=

2 2

3

…（10分）
由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=4

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與三角函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)的運(yùn)用，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．