【題目】已知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù)),且f(1)= ,f(0)=0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)在定義域上的奇偶性,并證明;
(3)對于任意的x∈[0,2],f(x)(2x+1)<m4x恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由已知可得 , ,
解得a=1,b=﹣1,
所以 ;
(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
證明如下:f(x)的定義域為R,
∵ ,
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(3)解:∵ ,∴ ,
∴2x﹣1<m4x
∴ =g(x),
故對于任意的x∈[0,2],f(x)(2x+1)<m4x恒成立等價于m>g(x)max
令 ,則y=t﹣t2 ,
則當 時
故 ,
即m的取值范圍為 .
【解析】(1)運用代入法,得到a,b的方程,解得a,b,可得f(x)的解析式;(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù).運用奇函數(shù)的定義,即可得證;(3)f(x)(2x+1)<m4x恒成立,即為2x﹣1<m4x , 運用參數(shù)分離和換元法,結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的值域,可得右邊的最大值,即可得到m的范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),與圖象的對稱軸相鄰的的零點為.
(Ⅰ)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(Ⅱ)設的內(nèi)角,,的對應邊分別為,,,且,,若向量與向量共線,求,的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣3x+(a﹣1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)﹣g(x)+3x.
(1)當a=5時,求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的最小值;
(2)當a=3時,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間及極值.
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【題目】二維空間中圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2;三維空間中球的二維測度(表面積)S=4πr2 , 三維測度(體積)V= πr3;四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3 , 則猜想其四維測度W= .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(2x+3﹣x2).
(1)求f(x)的定義域及單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)的最大值,并求出取得最大值時x的值;
(3)設函數(shù)g(x)=log4[(a+2)x+4],若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0,3)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,在△ABC中,D為邊BC上一點,AD=6,BD=3,DC=2.
(1)若AD⊥BC,求∠BAC的大;
(2)若∠ABC=,求△ADC的面積.
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【題目】已知圓與軸交于兩點,點為圓上異于的任意一點,圓在點處的切線與圓在點處的切線分別交于,直線和交于點,設點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)曲線與軸正半軸交點為,則曲線是否存在直角頂點為的內(nèi)接等腰直角三角形,若存在,求出所有滿足條件的的兩條直角邊所在直線的方程,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax+b(a≠0,b≠0).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(0,f(0))處的切線方程為y=2,求f(x)在區(qū)間[﹣2,1]上的最值;
(2)若a=﹣b,試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上零點的個數(shù).
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