Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log4（2x+3﹣x2）．
（1）求f（x）的定義域及單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值時x的值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=log4[（a+2）x+4]，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令2x+3﹣x2＞0，

解得：x∈（﹣1，3），

即f（x）的定義域為（﹣1，3），

令t=2x+3﹣x2，

則y=log4t，

∵y=log4t為增函數(shù)，

x∈（﹣1，1]時，t=2x+3﹣x2為增函數(shù)；

x∈[1，3）時，t=2x+3﹣x2為減函數(shù)；

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1]；f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[1，3）

（2）解：由（1）知當x=1時，t=2x+3﹣x2取最大值4，

此時函數(shù)f（x）取最大值1

（3）解：若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，

則2x+3﹣x2≤（a+2）x+4在x∈（0，3）上恒成立，

即x2+ax+1≥0在x∈（0，3）上恒成立，

即a≥﹣（x+ ）在x∈（0，3）上恒成立，

當x∈（0，3）時，x+ ≥2，則﹣（x+ ）≤﹣2，

故a≥﹣2

【解析】（1）令2x+3﹣x2＞0，可得函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）中函數(shù)的單調(diào)性，可得當x=1時，函數(shù)f（x）取最大值1；（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x+ ）在x∈（0，3）上恒成立，解得實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”．